Dalam matematika dan ilmu komputer, algoritma adalah rangkaian terbatas dari instruksi-instruksi yang rumit, biasanya digunakan untuk menyelesaikan atau menjalankan suatu kelompok masalah komputasi tertentu. Algoritma digunakan sebagai spesifikasi untuk melakukan perhitungan dan pemrosesan data. Algoritma yang lebih mutakhir dapat melakukan deduksi otomatis (disebut sebagai penalaran otomatis) dan menggunakan tes matematis dan logis untuk mengarahkan eksekusi kode melalui berbagai rute (disebut sebagai pengambilan keputusan otomatis). Penggunaan karakteristik manusia sebagai deskriptor mesin secara metaforis telah dipraktekkan oleh Alan Turing dengan terminologi seperti "memory", "search" dan "stimulus".

Sebaliknya, heuristika adalah pendekatan untuk pemecahan masalah komputasi yang mungkin tidak sepenuhnya terspesifikasi atau tidak menjamin hasil yang benar atau optimal, terutama dalam ranah masalah komputasi yang mana tidak ada hasil yang benar atau optimal yang terdefinisi dengan baik.

Sebagai metode yang efektif, algoritma dapat diekspresikan dalam jumlah ruang dan waktu yang terbatas, dan dalam bahasa formal yang terdefinisi dengan baik untuk menghitung suatu fungsi.Dimulai dari tataran awal dan input awal (bisa jadi kosong), instruksi-instruksi yang ada menggambarkan sebuah komputasi yang, ketika dieksekusi, berjalan melalui sejumlah tataran dengan jumlah terhingga yang terdefinisi dengan baik, yang pada akhirnya menghasilkan "output" dan berakhir pada tataran final akhir. Transisi dari satu tataran ke tataran berikutnya tidak selalu baku; beberapa algoritma, yang dikenal sebagai algoritma acak, menggabungkan input acak.

Konsep algoritma telah ada sejak zaman prasejarah. Algoritma aritmatika, seperti algoritma divisi, digunakan oleh matematikawan Babilonia kuno sekitar tahun 2500 SM dan matematikawan Mesir sekitar tahun 1550 SM. Matematikawan Yunani kemudian juga menggunakan algoritma pada 240 SM sebagaimana yang terdapat pada Tapis Eratosthenes untuk menemukan bilangan prima, dan Algoritma Euklides untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan. Matematikawan Arab seperti al-Kindi pada abad ke-9 menggunakan algoritma kriptografi untuk pemecahan kode, berdasarkan analisis frekuensi.

Kata algoritma berasal dari nama matematikawan Persia abad ke-9, Muḥammad bin Mūsā al-Khwārizmī, yang nisbah-nya (yang mengidentifikasikannya sebagai seseorang yang berasal dari Khwarezmia) dilatinkan sebagai Algoritmi (bahasa Persia yang diarabkan: الخوارزمی sekitar: 780-850). Namanya bermakna 'yang berasal dari (daerah) Khwarezmia', sebuah daerah yang dulunya merupakan bagian dari Iran Raya dan sekarang sebagai bagian dari Uzbekistan. Sekitar tahun 825, Al-Khwarizmi menulis sebuah risalah berbahasa Arab tentang sistem angka Hindu-Arab, yang diterjemahkan ke dalam bahasa Latin selama abad ke-12. Naskah ini dimulai dengan frasa Dixit Algorizmi ('Maka berkatalah Al-Khwarizmi'), di mana "Algorizmi" di sini adalah Latinisasi penerjemah akan nama Al-Khwarizmi.Bukunya yang bernama Aljabar menjadi salah satu buku matematikawan yang paling banyak dibaca di Eropa pada abad pertengahan Dalam bahasa Latin abad pertengahan, kata algorismus, yang merupakan pengadaptasian dari namanya, menjadi kata yang bermakna "sistem bilangan desimal". Pada abad ke-15, di bawah pengaruh kata Yunani ἀριθμός (arithmos), 'angka' (lih. 'aritmatika'), kata Latin-nya diubah menjadi algorithmus. Dalam bahasa Inggris, kata algorithm pertama kali digunakan pada sekitar tahun 1230 dan kemudian oleh Chaucer pada 1391. Bahasa Inggris mengadopsi istilah tersebut dari bahasa Prancis, akan tetapi baru pada abad ke-19 lah kata "algorithm" mulai memiliki makna seperti sekarang yang ada dalam bahasa Inggris modern.

Matematika India pada awalnya sebagian besar berbentuk algoritmik. Algoritma yang mewakili tradisi matematika India berkisar dari Śhulba Sūtrā dari beberapa abad sebelum masehi hingga teks-teks abad pertengahan dari Sekolah Kerala akan Astronomi dan Matematika.

Pemakaian awal lainnya dari kata ini berasal dari tahun 1240, dalam sebuah manual berjudul Carmen de Algorismo yang disusun oleh Alexandre de Villedieu. Yang kalimatnya diawali dengan:

yang bermakna:

Puisi ini panjangnya beberapa ratus baris dan merangkum ilmu menghitung dengan angka-angka yang diadopsi dari India.

Formalisasi parsial dari konsep algoritma modern dimulai dengan upaya untuk memecahkan Entscheidungsproblem (masalah pengambilan keputusan) yang diajukan oleh David Hilbert pada tahun 1928. Formalisasi selanjutnya dibingkai sebagai upaya untuk mendefinisikan "kalkulabilitas efektif" atau "metode efektif". Formalisasi tersebut termasuk fungsi rekursif Gödel-Herbrand-Kleene pada tahun 1930, 1934 dan 1935, kalkulus lambda Alonzo Church pada tahun 1936, Formulasi 1 Emil Post pada tahun 1936, dan mesin Turing-nya Alan Turing pada tahun 1936-37 dan 1939.

Definisi informalnya bisa berarti "sekumpulan aturan yang secara tepat menentukan seurutan operasi".  yang mengikutkan semua program komputer, termasuk program yang tidak melakukan perhitungan numerik. Secara umum, sebuah program hanyalah sebuah algoritma jika ia akan berhenti nantinya. 

Sebuah contoh prototipikal dari suatu algoritma adalah algoritma Euclid untuk menentukan bilangan pembagi terbesar dari dua integer; sebagai contohnya (ada contoh yang lain) dijelaskan dengan diagram alur di atas dan sebagai contoh di bagian lanjut.

(Boolos & Jeffrey 1974, 1999) memberikan sebuah makna informal dari kata algoritma dalam persamaan berikut:

Suatu "bilangan tak-terbatas" adalah bilangan yang elemen-elemenya bisa berkorespondensi satu-ke-satu dengan integer. Maka, Boolos dan Jeffrey mengatakan bahwa sebuah algoritma berarti instruksi bagi sebuah proses yang "membuat" keluaran integer dari sebuah "masukan" acak integer yang, secara teori, bisa sangat besar. Maka sebuah algoritma dapat berupa persamaan aljabar seperti y = m + n -- dua variabel masukan m dan n yang menghasikan keluaran y. Tapi berbagai penulis yang mencoba mendefinisikan persamaan tersebut mengatakan bahwa kata algoritma mengandung lebih dari itu, sesuatu yang kurang lebih (untuk contoh penjumlahan):

Instruksi rinci dan tepat (dalam bahasa yang dipahami oleh "komputer") untuk proses yang cepat, efisien, "baik" yang menentukan "pergerakan" dari "komputer" (mesin atau manusia, dibekali dengan informasi dan kemampuan internal yang dibutuhkan) untuk menemukan, dekode, dan kemudian mengolah masukan integer/simbol m dan n, simbol + dan = ... dan "secara efektif"menghasilkan, dalam waktu yang "masuk akal", keluaran integer y pada tempat dan format tertentu.

Konsep dari algoritma juga digunakan untuk mendefinisikan notasi dari desidabilitas. Notasi tersebut adalah pusat untuk menjelaskan bagaimana sistem formal berasal dari sejumlah kecil aksioma dan aturan. Dalam logika, waktu dari sebuah algoritma untuk selesai tidak dapat dihitung, karena tidak berelasi dengan dimensi fisik kita. Dari ketidakpastian tersebut, yang mengkarakteristikan pekerjaan yang sedang berjalan, timbulah ketidak-tersediannya definisi algoritma yang sesuai dengan konkret (pada tingkat tertentu) dan penggunaan secara abstrak dari istilah tersebut.

Algoritma sangat penting bagi cara komputer mengolah data. Banyak program komputer mengandung algoritma memberikan rincian pada instruksi khusus yang komputer harus lakukan (dengan urutan tertentu) untuk menjalankan pekerjaan tertentu, seperti menghitung gaji karyawan atau mencetak kartu rapor siswa. Maka, sebuah algoritma bisa dianggap sebagai urutan operasi yang bisa disimulasikan oleh sebuah sistem Turing-lengkap. Penulis yang mendukung tesis ini termasuk Minsky (1967), Savage (1987), dan Gurevich (2000):

Biasanya, bila sebuah algoritma dihubungkan dengan pengolahan informasi, data dibaca dari sumber masukan, ditulis ke perangkat keluaran, dan/atau disimpan untuk pengolahan selanjutnya. Data simpanan dianggap sebagai bagian dari keadaan internal dari entitas yang melakukan algoritma. Pada praktiknya, keadaan tersebut disimpan pada satu atau lebih struktur data.

Untuk beberapa proses komputasi, algoritma harus ditentukan secara teliti: dijabarkan dengan cara ia bakal berlaku untuk semua kemungkinan yang dapat timbul. Yaitu, setiap langkah tambahan harus secara sistematis dihadapi, kasus-per-kasus; Kriteria bagi setiap kasus harus jelas (dan bisa dihitung).

Karena sebuah algoritma adalah kumpulan dari langkah-langkah yang tepat, urutan dari komputasi selalu penting bagi berfungsinya algoritma. Instruksi biasanya diasumsikan terdaftar secara eksplisit, dan dijelaskan dimulai "dari atas" dan terus "ke bawah", sebuah gambaran yang dijelaskan secara formal oleh alur kontrol

Sejauh ini, diskusi tentang formalisasi algoritma telah mengasumsikan premis dari pemrograman imperatif. Hal ini merupakan konsepsi umum, yang mencoba menjelaskan sebuah pekerjaan dalam makna diskrit dan "mekanis". Keunikan dari konsepsi formalisasi algoritma adalah operasi penetapan, mengatur nilai dari sebuah variabel. Ia berasal dari intuisi "ingatan" sebagai kertas buram. Contoh operasi penetapan tersebut ada di bawah.

Untuk konsepsi yang lain dari apa yang membentuk sebuah algoritma lihat pemrograman fungsional dan pemrograman logika.

Algoritma dapat digambarkan dengan banyak notasi, termasuk bahasa alamiah, pseudokode, diagram alur, bagan drakon, bahasa pemrograman atau tabel kontrol (diproses oleh penerjemah). Ekspresi bahasa alamiah terhadap algoritma condong lebih banyak dan rancu, dan jarang digunakan untuk algoritma yang kompleks dan teknis. Pseudokode, diagram alur, bagan drakon, dan tabel kontrol adalah cara yang terstruktur untuk menggambarkan algoritma yang mencegah banyaknya kerancuan pada pernyataan-pernyataan bahasa alamiah. Bahasa pemrograman ditujukan untuk mengekspresikan algoritma dalam sebuah bentuk yang dapat dieksekusi oleh komputer, tetapi sering kali digunakan sebagai suatu cara untuk menentukan atau mendokumentasikan algoritma.

Ada banyak macam kemungkinan representasi dan seseorang dapat mengekspresikan sebuah program mesin Turing sebagai urutan dari tabel-tabel mesin (lihat lebih lanjut di mesin kondisi-terbatas, tabel transisi kondisi dan tabel kontrol), sebagai diagram alur dan bagan drakon (lihat lebih lanjut di diagram kondisi), atau sebagai bentuk kode mesin atau kode assembly dasar yang dikenal "kumpulan lipat empat" (lihat lebih lanjut di mesin Turing).

Representasi dari algoritma dapat dikelompokan ke dalam tiga tingkatan dari deskripsi mesin Turing: 

1 Deskripsi tingkat-tinggi

"... ditujukan untuk menjelaskan algoritma, menghiraukan rincian implementasi. Pada tingkat ini kita tidak perlu menyebutkan bagaimana mesin mengatur perangkat pita atau kepala pita rekam."

2 Deskripsi implementasi

"... digunakan untuk menjelaskan cara mesin Turing menggunakan kepalanya dan cara menyimpan data. Pada tingkat ini kita tidak memberikan secara rinci kondisi atau fungsi transisi."

3 Deskripsi formal

Lebih rinci, "tingkat paling rendah", menjelaskan "tabel kondisi" dari mesin Turing.

Sebagai contoh dari algoritma sederhana "Penjumlahan m+n" dijelaskan dalam tiga tingkatan tersebut.

Kebanyakan algoritma ditujukan untuk diimplementasikan sebagai program komputer. Namun, algoritma juga diimplementasikan dengan tujuan lain, seperti dalam jaringan saraf biologis (sebagai contohnya, otak manusia yang mengimplementasikan aritmetika atau sebuah serangga yang melihat makanan), dalam sirkuit elektris, atau dalam sebuah perangkat mekanis.

Dalam sistem komputer, sebuah algoritma pada dasarnya adalah instansi dari logika ditulis dalam perangkat lunak oleh pengembang perangkat lunak supaya efektif untuk komputer yang "ditargetkan" untuk mesin tertentu untuk menghasilkan keluaran dari masukan yang diberikan (kemungkinan nul).

Program yang "elegan" (padat), program yang "baik" (cepat): Pernyataan dari "sederhana dan elegan" muncul secara informal dalam buku Knuth dan dalam Chaitin:

Knuth: "... kita menginginkan algoritma yang baik dalam definisi estetika sederhana. Salah satu kriterianya ... adalah waktu yang dibutuhkan untuk berjalannya algoritma ... Kriteria yang lain adalah adaptasi dari algoritma ke komputer, kesederhanaan dan elegan, dll"

Chaitin: "... sebuah program adalah 'elegan, maksud saya adalah ia merupakan program terkecil untuk menghasilkan keluaran."

Chaitin membuka definisinya dengan: "Saya akan perlihatkan bahwa anda tidak dapat membuktikan sebuah program adalah 'elegan'"—bukti tersebut akan menyelesaikan permasalahan perhentian (ibid).

Algoritma terhadap fungsi yang dapat dihitung oleh algoritma: Untuk sebuah fungsi bisa ada beberapa algoritma. Hal ini benar, bahkan tanpa mengembangkan kumpulan instruksi yang ada bagi programmer. Rogers mengamati bahwa "Sangat ... penting untuk membedakan antara pengertian algoritma, misalnya prosedur dan pernyataan fungsi yang dihitung oleh algoritma, misalnya pemetaan hasil dari prosedur. Fungsi yang sama bisa memiliki beberapa algoritma berbeda". 

Sayangnya ada pertukaran antara kebaikan (kecepatan) dan elegan (kepadatan) -- sebuah program yang elegan bisa melakukan lebih banyak langkah untuk menyelesaikan sebuah komputasi daripada yang kurang elegan. Sebuah contoh yang menggunakan algoritma Euclid bisa dilihat di bawah.

Komputer (dan komputor), model dari komputasi: Sebuah komputer (atau manusia "komputor" ) adalah tipe terbatas dari mesin, sebuah "perangkat mekanis deterministik diskrit"  yang secara buta mengikuti instruksinya. Model primitif dari Melzak dan Lambek  mereduksi pemikiran tersebut menjadi empat elemen: (i) diskrit, lokasi yang bisa dibedakan, (ii) diskrit, penghitung yang tak bisa dibedakan  (iii) sebuah agen, dan (iv) sebuah daftar instruksi yang efektif relatif terhadap kemampuan dari agen. 

Minsky menjelaskan variasi yang lebih sesuai dari model "abacus"-nya Lambek dalam "Basis Komputabilitas Paling Sederhana".  Mesin Minsky memproses secara berurutan lewat lima (atau enam tergantung bagaimana seseorang menghitungnya) instruksi kecuali baik sebuah kondisi IF-THEN GOTO atau GOTO tak bersyarat mengubah alur program keluar dari urutan. Selain HALT, mesin Minsky mengikutkan tiga operasi penetapan (penggantian, substitusi): ZERO (misalnya, isi dari lokasi diganti oleh 0: L ← 0), SUCCESSOR (misalnya, L ← L+1), dan DECREMENT (misalnya, L ← L-1). Jarang seorang programer harus menulis "kode" dengan kumpulan instruksi terbatas. Tapi Minsky memperlihatkan (sebagaimana Melzak dan Lambek) bahwa mesinnya adalah Turing komplet dengan hanya empat tipe instruksi utama: GOTO kondisional, GOTO tak bersyarat, penetapan/penggantian/substitusi, dan HALT. 

Simulasi dari sebuah algoritma: bahasa komputer (komputor): Knuth menganjurkan pembaca bahwa "cara terbaik untuk belajar algoritma dalah mencobanya ... langsung ambil pulpen dan kertas dan bekerja lewat contoh". Lalu bagaimana dengan simulasi atau eksekusi yang sebenarnya? Programmer harus menerjemahkan algoritma ke dalam bahasa yang mana simulator/komputer/komputor dapat mengeksekusi secara efektif. Stone memberikan contoh dari hal ini: saat menghitung akar dari persamaan kuadrat si komputor harus tahu bagaimana mendapatkan akar kuadrat. Jika tidak maka supaya algoritma dapat efektif ia harus menyediakan sejumlah aturan untuk mengekstrak akar kuadrat. 

Hal ini berarti programer harus tahu sebuah "bahasa" yang efektif relatif terhadap target pada agen komputasi (komputer/komputor).

Lalu model apa yang seharusnya digunakan untuk simulasi? Van Emde Boas mengamati "bahkan bila kita mendasari teori kompleksitas dengan mesin abstrak bukannya mesin kongkrit, kesembarangan dari pemilihan model masih tetap ada. Pada titik itulah mulainya pemikiran simulasi".Bila kecepatan yang dihitung, jumlah instruksi berpengaruh. Sebagai contohnya, subprogram dalam algoritma Euclid untuk menghitung sisa akan berjalan lebih cepat jika programmer memiliki instruksi "modulus" (sisa pembagian) bukannya dengan pengurangan (atau lebih parah: hanya "penurunan").

Pemrograman terstruktur, struktur kanonikal: Menurut Tesis Church-Turing setiap algoritma bisa dihitung dengan sebuah model yang dikenal Turing komplet, dan menurut demonstrasi Minsky kekomplitan Turing membutuhkan hanya empat tipe instruksi—GOTO bersyarat, GOTO tak bersyarat, penetapan, HALT. Kemeny dan Kurtz mengamati bahwa saat penggunaan GOTO tak bersyarat yang "tak disiplin" dan IF-THEN GOTO bersyarat bisa menghasilkan "kode spageti" seorang programer bisa menulis program terstruktur menggunakan instruksi tersebut; di lain sisi "juga memungkinkan, dan tidak begitu sulit, untuk menulis sebuah program terstruktur yang buruk dalam sebuah bahasa terstruktur".  Tausworthe menambahkan tiga struktur kanon Bohm-Jacopini: SEQUENCE, IF-THEN-ELSE, dan WHILE-DO, dengan dua lagi: DO-WHILE dan CASE.  Keuntungan dari program terstruktur adalah ia cocok dengan pembuktian kebenaran menggunakan induksi matematika. 

Simbol diagram alur: Pembantu grafik yang disebut diagram alur memberikan suatu cara untuk menjelaskan dan mendokumentasikan sebuah algoritma (dan program komputer). Seperti alur program dari mesin Minsky, sebuah diagram alur selalu mulai dari atas dan terus ke bawah. Simbol utamanya hanya 4: arah panah memperlihatkan alur program, segi empat (SEQUENCE, GOTO), wajik (IF-THEN-ELSE), dan titik (OR). Struktur kanonikal Bohm-Jacopini dibuat dari bentuk-bentuk primitif tersebut. Sub-struktur bisa "bersarang" dalam segi empat hanya jika jalan keluar tunggal terjadi pada super-struktur. Simbol dan penggunaannya untuk membangun struktur kanonikal diperlihatkan dalam diagram.